Itzel

Determinante de dos vectores en el plano euclídeo

Sea P el plano euclídeo. El determinante de los vectores X y X' se obtiene con la expresión analítica

o, de manera equivalente, por la expresión geométrica

en la cual θ es el ángulo orientado formado por los vectores X y X'.

 Propiedades

• El valor absoluto del determinante es igual a la superficie del paralelogramo definido por X y X' (Xsinθ es en efecto la altura del paralelogramo, por lo que A = Base × Altura).
• El determinante es nulo si y sólo si los dos vectores son colineales (el paralelogramo se convierte en una línea).
• Su signo es estrictamente positivo si y sólo si la medida del ángulo (X, X ') se encuentra en ]0,π[.
• La aplicación del determinante es bilineal: la linearidad respecto al primer vector se escribe

y respecto al segundo

La figura 2, en el plano, ilustra un caso particular de esta fórmula. Representa dos paralelogramos adyacentes, uno definido por los vectores u y v (en verde), y otro por los vectores u' y v (en azul). Es fácil ver sobre este ejemplo el área del paralelogramo definido por los vectores u+u' y v (en gris): es igual a la suma de los dos paralelogramos precedentes a la cual se sustrae el área de un triángulo y se añade el área de otro triángulo. Ambos triángulos se corresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).
El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones han sido elegidas de manera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el contenido geométrico.

 Generalización

Es posible definir la noción de determinante en un plano euclídeo orientado con una base ortonormal directa B utilizando las coordenadas de los vectores en esta base. El cálculo del determinante da el mismo resultado sea cual sea la base ortonormal directa elegida para el cálculo.

Determinante de tres vectores en el espacio euclídeo

Sea E el espacio euclídeo orientado de dimensión 3. El determinante de tres vectores de E se da por

Este determinante lleva el nombre de producto mixto.

Propiedades

• El valor absoluto del determinante es igual al volumen de paralelepípedo definido por los tres vectores.
• El determinante es nulo si y sólo si los tres vectores se encuentran en un mismo plano (paralelepípedo "plano").
• La aplicación determinante es trilineal: sobre todo

Una ilustración geométrica de esta propiedad se da en la figura 3 con dos paralelepípedos adyacentes, es decir con una cara común. La igualdad siguiente es entonces intuitiva:

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